答三位网友关于费马点的问题

(主题:关于托里拆利的解答的漏洞)

 

网友bivo的来信

网友Max的来信

一位郭姓网友的来信

 

 

站长的解答

很凑巧几乎同时收到了三位网友的来信,问的是同一个问题。

关于这个问题,我原来写《平面几何中的费马问题和费马点》这篇文章时曾埋下一个伏笔(见该文中的注2),本来想卖一个关子,诱发读者的思考,等以后再回过头来捡起它。但现在既然有三位网友那么强烈地渴望知道答案,就提前揭开谜底吧。

首先来回顾一下费马的问题和托里拆利的解答。

 

图2

我们可以把上图中的点 P,即对 △ABC 每条边的张角都等于120°的点称为“等角点”。 

托里拆利的这个解答看上去非常漂亮,干净,完美(很多书上都把它当作标准答案),但是却有一个漏洞,能一眼看出这个漏洞的人必定是一个眼明心细的高人(历史上第一个指出托里拆利的解答的漏洞的是和他同时代的另一位意大利数学家卡瓦列里)。

数学是天底下最严谨和严密的学问,无论是推理过程,还是结论断言,都必须做到滴水不漏,容不得半点马虎和疏忽。譬如打渔,一网下去,必须将所有的鱼儿悉数打尽,不能有一条漏网之鱼。譬如打仗,必须像诸葛亮一样心思缜密,思虑周全,算到所有的变化。

但说起来容易做起来难,中国古人说得好,“人非圣贤,孰能无过”,“智者千虑,难免一失”,即便是像托里拆利这样当时意大利数一数二的大数学家,也免不了偶尔会疏忽大意。在这里他失算了一点,那就是他没有考虑到,他在他的解答中所描述的点是否一定存在。

实际上,并不是对于所有的三角形,都存在像上面图2中所示的“等角点”。

 

思考题

问题1.请读者自己先想想看,对于什么样的三角形,不存在“等角点”即对每条边的张角都等于120°的点呢?

对上面这个问题我们也可以进行“逆向”思维(这是数学中很常用的一招),将它转化为

问题2.假设一个三角形有“等角点”,那么这个三角形一定满足什么条件呢?

 

这里隐含的思想是这样的:

倘若我们找到了一个有“等角点”的三角形必须满足的某个条件,那么,我们只要画出一个不满足该条件的三角形,它就一定没有“等角点”。

(为什么呢?请读者想一下。)

 

如果你觉得对上面的问题2也是“丈二和尚摸不着头脑”,茫茫然一点头绪也没有,那么还可以再变换一下脑筋这样思考。

先画好“等角点”和三角形的三个顶点的连线,得到三条彼此夹角都等于120°的三叉状的射线,如下图所示:

然后让三角形的三个顶点各自在它所在的那条射线上自由地滑动,这样就能生成无数个不同形状的有“等角点”的三角形(你可以把下图中的三条粗线想象成光滑的无限长的滑杆,三个顶点 A, B, C 是三颗可以在各自所在的滑杆上自由滑动的珠子)。

 

问题来了,用这种方式能够生成任意形状的三角形吗?换言之,有没有某种形状的三角形是不可能用这种方式生成的呢?

 

                 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

答案是(想必脑瓜尖的读者已经发现了),一些比较扁的三角形,如下面这个:

更准确地说,有一个角大于或等于120°的三角形,是不可能用上述方式生成的。

换言之,用上述方式产生的三角形的每个角都一定小于120°。

(要发现这一点需要一点儿洞察力,但发现了之后加以证明并不难,请读者自己尝试证明之。)

 

由此我们得出结论:对于有一个角大于或等于120°的三角形,不存在“等角点”即对三条边的张角都等于120°的点,这就意味着,对于这样的三角形,托里拆利的解答是无效的,但这并不意味着费马的问题无解,实际上可以证明,这时候三角形的钝角顶点就是到三个顶点距离之和最小的点,我们可以把它称为“退化的”费马点。  

 

 

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