对一位网友求教的一道 GMAT 数学题的解答

 

网友的来信

中文译文:

对任一个正偶数 n ,函数  h(n )  定义为从 2 到  n  的所有偶数的乘积,若 p h(100) + 1 的最小的质因子,则  p

◎ 在 2 到 10 之间

◎ 在 10 到 20 之间

◎ 在 20 到 30 之间

◎ 在 30 到 40 之间

◎ 大于 40

 

站长的解答

温馨提示:请读者在看下面的解答之前,自己先独立思考怎样解这道题,没有头绪再看提示,看了提示后还想不出再看解答(建议先看英文解答,再看中文解答)。

 

          

 

 

1. 英文解答(SOLUTION):

                               h(100) = 2 × 4 × 6 ... × 100 = 250 (1 × 2 × 3 × ... × 50)                      (#1)

Now suppose p is a prime factor of  h(100) + 1, this means that

h(100) + 1 ≡ 0    (mod p),

hence

h(100)  ≡ -1    (mod p).

But form (#1) it is clear that

                       h(100)  ≡ 0    (mod n)      for all  n ≤ 50.

Therefore one must have p > 50.  

 

(注:为了表达简洁,上面使用了看上去比较专业的同余符号“”,详见《从整数的世界到余数的世界(1) —— A First Exploration into the Wonderful World of Numbers 》一文)

 

 

2. 中文解答:

p h(100) + 1 的一个质因子,则 h(100) + 1 能被 p  整除,这意味着 h(100) 除以 p 的余数等于 -1。

h(100) = 2 × 4 × 6 ... × 100 = 250 (1 × 2 × 3 × ... × 50)

显然能被所有不超过50的正整数 n 整除,因此  p 一定大于 50。

 

 

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