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四色定理和印度五王子问题(1)


 

作者:谢国芳   

      Email:  roixie@163.com  

1.四色定理简介 

2.印度五王子问题 

3.四色定理和印度五王子问题的关系

1. 四色定理简介

四色问题是一个著名的世界级数学难题,它的内容说起来非常简单,那就是任何一张平面地图,不管有多少个国家或地区[1],最多只需要四种颜色,就可以给它涂色使得任何两个相邻的国家或地区的颜色不同。(倘若不信,你可以随便拿一张地图来试验。)

这个惊人的事实据说最早是英国人弗朗西斯·格瑟瑞(Francis Guthrie)观察英国郡县地图发现的。令人匪夷所思的是,这样一个清清楚楚、明明白白、简单之极的事实,说出来连三岁小儿也能明白,可是要证明它却比登天还难。

 

图1: 只用四种颜色着色的世界地图(亚、欧、非三大洲和大洋洲部分)

 

从1852年弗朗西斯·格瑟瑞的兄弟弗雷德里克·格瑟瑞(Frederick Guthrie)向伦敦大学学院的数学教授、英国著名数学家奥古斯都·德·摩根(Augustus de Morgen)提出这个问题算起,在长达一百多年的时间里,该问题一直悬而未决,以“四色猜想”闻名于世。无数业余数学爱好者和职业数学家为之绞尽脑汁,费尽心机,梦想着证明它或者推翻它(为此你只需要画出一张需要五种颜色才能着色的地图就行了)一举名扬天下,彪炳青史,可到头来都壮志难酬,抱憾而终,或无功而返,或功败垂成。

悠悠百年间,四色猜想的证明就像是“水中月”、“镜中花”,只让无数追求者心碎肠断,空劳牵挂……

奥古斯都·德·摩根(1806-1871)

 

 

直到1976年,一个消息像重镑炸弹一样震惊了国际数学界,美国伊利诺斯大学的数学家沃夫冈·哈肯(Wolfgang Haken)和凯尼斯·阿佩尔(Kenneth Appel)宣布,他们在计算机的辅助下成功地证明了四色定理!他们的证明共耗费了一千二百个小时的计算机运行时间,计算机的打印稿叠起来足足有一米多高!

世界各大媒体竞相报道了这个激动人心的消息,欢庆一个世纪难题终于告破,从此四色猜想正式变成了四色定理。为了庆祝这个具有历史意义的事件,伊利诺斯大学邮局专门制作了刻有“四色足矣!”(FOUR COLORS SUFFICE)的邮戳(见下图)。

 

 

在哈肯和阿佩尔的证明发表后(他们的证明全文长达九百页——光概要就有一百页,包含一万多个图),对于这种大量中间步骤由计算机完成、无法人工核对的证明究竟能否算合法的数学证明,数学界爆发了的一场激烈的争论。

因为谁也不能保证,计算机不会在这种超级复杂的验证中不出一点差错。假如中间的某个环节出现一个严重的差错(像之前肯佩的证明中的那个漏洞那样),那么整个证明将会像一堆多米诺骨牌一样轰然倒塌。

这种担心并非是杞人之忧,后来的确有人在哈肯和阿佩尔的证明中发现了漏洞,所幸只是细微的无伤大体的漏洞,很快得到了补救。

迄今为至,哈肯和阿佩尔的证明经受住了时间的考验。

但怀疑一直没有消除。  

……

未完待续(to be continued)

 

 

【注1】:这里有一个隐含的假定:每个国家或地区必须是一整块的(用数学术语说就是“连通的”),而不允许是由分离的两块或更多块组成的。

 ★ 作为一个有趣的题外话,顺便说一下,在世界历史上的确有由分离的两块或更多块地区组成的国家,像欧洲近代史上的哈布斯堡帝国(在鼎盛时期其疆域包括现在的西班牙、葡萄牙、奥地利、匈牙利大部和意大利、荷兰、比利时的一部分,见下图)

 

    另一个例子是二次世界大战之间的德国——在第一次世界大战战败后、德国的领土遭到凡尔赛条约的肢解,被割裂为不连通的东西两块(中间隔着波兰,这也埋下了第二次世界大战时波兰首先遭殃的祸根),详见下面二图。

 

 

 

 

 

 

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