网站首页 (Homepage) 欢  迎  访  问  谢  国  芳  的  网  站  “语  数  之  光
Welcome to Guofang Xie's Website
返回 (Return)

 

平面几何中的费马问题和费马点


 

作者:  谢国芳(Roy Xie)

      Email:  roixie@163.com  

 

目次

§1. 费马的问题和托里拆利的解答

§2. 费马问题的纯几何解法

§3. 问题的推广Ⅰ——加权费马问题和费马点

§4. 问题的推广Ⅱ——斯坦纳点和斯坦纳树

§1.  费马的问题和托里拆利的解答

平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马(Pierre de Fermat,1601–1665)提出的一个著名的几何问题。

费马(Pierre de Fermat)

1643年,在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利(Evangelista Torricelli,1608–1647)的私人信件中,费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题,请求托里拆利帮忙解答(也有一种说法是费马本人实际上已经找到了这个问题的答案,他是为了挑战托里拆利才写信向他“请教”的):  

给定不在一条直线上的三个点 A,B,C,求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置。[1]  

 

托里拆利因为发明水银气压计而闻名于世(水银气压计也称为托里拆利管,其原理简单地说就是把一根约1米长的玻璃管灌满水银,然后将它倒转过来竖直放在一个水银槽中,托里拆利用它在人类历史上第一个成功地测出了大气的压强——没有忘掉初中物理的朋友应该还记得一个大气压约等于760毫米汞柱,如果换成水的话有10米多高,因为汞即水银的密度是水的13.6倍),但他同时也是一个卓越的数学家,特别在几何方面有很深的造诣。

托里拆利和当时意大利的第一号科学家伽利略(Galileo, 1564-1642)过从密切,深受伽利略器重。在伽利略去世后,受意大利托斯卡纳大公国(Grand Duchy of Tuscany)费迪南多二世大公(Ferdinando II de' Medici)的邀请,托里拆利继任伽利略担任比萨大学的数学教授和大公的专聘宫廷数学家(根据最近数学史家的研究,倘若托里拆利不是英年早逝,他很可能先于牛顿和莱布尼茨发现微积分)。

鉴于托里拆利不但是意大利、而且是当时全欧洲的知名“职业数学家”,“业余数学家”、职业为律师的费马写信向他请教是很自然的。

 

托里拆利(Torricelli)

 

没有令费马失望,托里拆利成功地解决了费马的问题。他给出的答案是:

对 △ABC 三条边的张角都等于120°,即满足∠APB =∠BPC =∠CPA = 120°的点 P(如下图所示)就是到点 A,B,C 的距离之和最小的点。[2]   

 

托里拆利给出的解答费马本人可能早已知道——如果他写信向托里拆利“请教”真的是为了挑战托里拆利,那样的话他们俩就是不谋而合,“英雄所见略同”了(实际上,由于数学中真理的绝对性和唯一性,英雄所见岂止是“略同”,必定是全同的)。

后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点 A,B,C 距离之和最小的点称为△ABC的费马-托里拆利点(Fermat-Torricelli point),也简称为费马点(Fermat point)或托里拆利点(Torricelli point)。

……

 

§2.  费马问题的纯几何解法

费马问题有多种不同的解法,最简单最快捷最漂亮的还是纯几何解法。

要用几何方法解决费马问题,一个很自然的想法是想办法把问题中的三条线段 PA, PB, PC“加”在一起或者说拼接在一起,最好是把它们拼接成连接两个定点的一条折线(这样一来,因为两点之间直线最短,我们就能很快地确定 PA + PB + PC 的最小值)。

那么,用什么办法能实现 PA, PB, PC 这三条线段的这种加法呢?

要一下子把三条线段“加在一起”看起来是一件难度比较大的事情,我们先来看一个更简单的关于两条线段的类似问题,看看能从中得到什么启发。

下面这个问题也许很多读者都非常熟悉,它也被俗称为“将军饮马”问题,在精神上它和费马问题可以说是“一脉相承”、“息息相通”的。

如下图所示,直线 l 代表一条河流,沿河有两个营地 A,B,某将军从营地 A 出发,先到河边给他的战马饮水,再去营地 B,问将军走怎样的路线才能使总路程最短,从而在最快的时间内赶到营地 B?

用数学语言讲,就是要在上图的直线 l 上求一点 P,使得它到点 A, B的距离之和 PA + PB 最小。

因为流传甚广,该问题的解法想必很多人都知道,其基本思想是利用轴对称变换或者说反射变换或镜像变换(第一次碰到这个问题的朋友如果能独立地想到这一点,是相当不容易的)。

如下图所示,设 B'  是点 B 关于直线 l 的对称点(如果你把直线 l 想象成一个镜子,那么 B' 就是点 B 在镜子中的像),由对称性可知 PB = PB' ,这样一来就有 AP + PB  =  AP + PB'  ≥  AB',当且仅当点 P 在线段 AB' 上时上述不等式取到等号,即 AP + PB 取到最小值。

因此我们就得到问题的解答如下:作点 B 关于直线 l 的对称点 B' ,连接点 A B' ,线段 AB'  l 的交点 C 就是直线 l 上到点 A, B 距离之和最小的点。

【附注】点 B 关于直线 l 的对称点的作法 

作法1(如上图所示):

过点 B 作直线 l 的垂线,设垂足为 H,延长 BH 至 B'使得 B'H = BH,点 B'即为点 B 关于直线 l 的对称点。

作法2(如下图所示):

在直线 l 上任取一点 E,以 E 为圆心、EB 为半径作圆,再在直线 l 上任取一点 F,以 F 为圆心、FB 为半径作圆,两圆的一个交点为点 B,另一个交点即为点 B 关于直线 l 的对称点 B'。

 

思考题

从上面“将军饮马”问题的解法中,你能得到什么样的对于解决费马问题有帮助的启示或者说灵感?

        

 

 

 

 

 

 

 

前面我们看到,解决“将军饮马”问题的绝招是轴对称变换(即镜像变换或者说反射变换),这是一种最基本的几何变换。

类似地,解决费马问题的绝招同样是几何变换,只是这一回奏效的不是轴对称变换了,而是另一种基本几何变换——旋转变换。

希望读者能细细品味下面对费马问题的解法和上面对“将军饮马”问题的解法之间的异曲同工之妙,两者的具体手法和几何图形虽然不同,但在精神上却如出一辙,何其相似乃尔!

正如利用轴对称变换我们可以把“将军饮马”问题中的两条线段巧妙地“加到一起”,利用旋转变换我们就能成功地把费马问题中的三条线段以一种非常自然的方式“加到一起”。

为此我们只要把△BPC 绕点B 旋转60°(如上图所示)[4],设点P 转到了点 P' ,点 C 转到了点 C' ,于是就有

                 PC = P'C',   PB = PP' (因为 △PBP' 是等边三角形)

因此就有

PA + PB + PC  =  PA + PP' + P'C'

上式的右边是连接点A 和点C' 的一段折线的距离,它一定大于或等于线段 AC' 的长度,所以我们就得到了不等式:

                PA + PB + PC  =  PA + PP' + P'C'  ≥  AC'      

    (2.1)

显然,如果上面的不等式能取到等号,那么这时候的点 P 就是到点 A, B, C 距离之和最小的点,也就是费马点。

 

思考题

Q2. 请思考,上面的不等式(2.1)是否总能取到等号?

         

 

Q3. 若上一问的答案为否,那么在什么情况下不等式(2.1)能取到等号?

        

         

 

Q4. 设若不等式(2.1)能取到等号,这时候如何确定点 P(即费马点)的位置。

     

 

未完待续(to be continued)

 

 注 解 和 知 识 拓 展

[1] 请读者思考,当 A, B, C三点在一条直线上时,问题的解是什么。

[2] 正所谓“智者千虑,必有一失”,托里拆利的解答其实并不完全正确,其中有一个很大的漏洞。聪明的读者,你能发现这个漏洞在哪里吗?怎样弥补它呢?

{ 注:最早指出托里拆利的解答中的漏洞的是另一个与托里拆利同时代的意大利数学家卡瓦列里 ( Bonaventura Cavalieri , 1598 –1647 )。 }

 

 

网站首页

回顶

 下一页: §2.

 

相关文章:

美妙的几何定理(1)——拿破仑定理  

美妙的几何定理(2)——四边形的牛顿-高斯线

耐人寻味的帕普斯(Pappus)定理

伟大的彭塞列闭合定理(Poncelet's Closure Theorem)

圆锥曲线的谢国芳小定理——继帕斯卡定理和布列安桑定理之后又一朵射影几何的奇葩

圆锥曲线的谢国芳大定理—— 也许是有史以来最伟大和最奇妙的几何定理