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漫话圆锥曲线(1)

—— 谢国芳(Roy Xie)                Email:  roixie@163.com   

圆锥曲线是用一个平面去截圆锥所得到的曲线,因此它也被称为圆锥截线(conic section)。早在二千多年前,古希腊的几何学家就发现了这类曲线并进行了系统的研究,其中最杰出的当数阿波罗尼斯(Apollonius of Perga, 约公元前262年~190年),他的七卷本巨著《圆锥曲线论》独步千年,横绝古今,和欧几里德的《几何原本》并称为古希腊数学的两大高峰。遗憾的是,在中国古代的数学家中好像没有人注意到这类曲线,虽然它们的身影在我们的日常生活中随处可见(见下文),不一定非要用一个平面去截圆锥才能发现。

然而,我们还是从古希腊人发现它们的途径谈起吧。如图1.1所示,用一个平面截一个圆锥[1],如果平面和锥底平行,截线就是一个圆。如果我们把平面慢慢地倾斜过来,随着倾角的不断增大,截线会依次呈现出三种不同的形状,今天我们把它们分别称为椭圆(ellipse)、抛物线(parabola)和双曲线(hyperbola),它们分别对应于平面的倾角小于、等于、大于圆锥的底角这三种情形(注意双曲线有两个分离的分支[2],因为倾角大于圆锥底角的平面会同时截到圆锥的上下两半,最早认识到这一点的是阿波罗尼斯,之前的古希腊几何学家都没有看到双曲线的“另一半”)。图1.2 则展示了在平面上看到的这三种曲线的大致形状,相信即便是一个没有学过数学的人,对它们的“长相”也不会感到陌生,特别是椭圆(简单地说,它就是一个被压扁了的圆)

 图 1.1   一个平面截圆锥的三种情形和由此产生的三种圆锥曲线 

 图 1.2   在平面上看到的三种圆锥曲线的形状 

椭圆、抛物线、双曲线这三种曲线从外表看上去截然不同(见上图,你能“看出”它们有什么共同之处吗?),可令人惊奇的是,骨子里它们却相通相融,亲密无间,你能变我,我能变你,可以说看似三相,实为一体。打个比方,就像孙悟空有七十二种变化,它们实际上可以看成是圆的三种不同的“化身”。

(请读者思考,怎么样能把一个圆“变成”椭圆或者反过来把一个椭圆“变成”圆?——这是比较容易想到的,用一个初等的变换就能实现[3]。而把抛物线和双曲线“变成”或者说“还原成”圆的变换则较难想到,需要更高的“法术”)。

 

除了圆之外(圆实际上是圆锥曲线的特例——即长轴和短轴相等的椭圆),圆锥曲线可以说是最简单最贴近我们生活的曲线。上至浩瀚的苍穹,下至我们的周遭身边,只要你稍加留心,都能观察到它们曼妙的身姿。

在天上,行星运动的轨道是椭圆,太阳位于它的一个焦点上。这是德国天文学家开普勒(Johannes Kepler,1571~1630)的伟大发现,也是引导牛顿(Isaac Newton,1642~1727) 发现万有引力定律的一个关键因素。在1687年出版的他的巨著《自然哲学的数学原理》(Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica)中,牛顿证明了,如果行星运动的轨道是以太阳为焦点的椭圆,那么它所受到的引力必定和到太阳的距离的平方成反比。反之,在平方反比力的作用下,一个运动物体的轨迹必然是一条圆锥曲线,即要么是椭圆,要么是双曲线或抛物线,视物体的初始位置、运动速度(包括方向)和力的强度之间的关系而定。在古希腊人发现和研究圆锥曲线将近二千年后,这些美丽的曲线终于走出了象牙塔,在天体的运动中找到了最辉煌的应用。 

 图 1.3  太阳系各大行星的椭圆轨道

(图中狭长的白圈是哈雷彗星的轨道,它是一个极扁的椭圆)

 

把目光返回到人间,圆锥曲线的身影也是随处可见。随便举几个例子吧,苗条女人的腰身近似于一条双曲线,广州新建的电视塔被广州人俗称为“小蛮腰”(见下图),因为它的外形是双曲线一一严格地说是双曲面(更严格地说是单叶双曲面)[4],它是双曲线绕它的一根轴线旋转产生的曲面。  

 

 图 1.4  广州珠江边上的新电视塔(俗称“小蛮腰”,高达610米)

 

喷泉和水枪里射出的水柱的形状是抛物线(见下图)。禽鸟的蛋(比如鸡蛋、鸭蛋)和很多种瓜(比如哈密瓜)的形状都近似于一个椭球体,那是一个椭圆绕其轴线旋转而成的,当你用刀把它切成两半的时候,截口就是一个椭圆了[5]。斜着切黄瓜、胡萝卜、香肠等圆柱或圆锥状的蔬果食品,切下来每片的形状也都近乎是一个椭圆。

 图 1.5  喷泉的水柱

 

当你喝水或饮料、牛奶的时候(这时候你会把杯子侧斜过来),你可曾留意过杯子(我们假定是最常见的那种圆柱或圆锥形的杯子)中水面或饮料、牛奶表面的形状,它是一个十分完美的椭圆[6],说实话,这是作者一天早上起来喝牛奶的时候偶然“发现”的,当时突然看到杯子里牛奶的表面是一个洁白精致的椭圆,不由得生出无限的美感和惊叹,惊叹于大自然这一小小的杰作和戏法。

还有,你可曾留意过,太阳底下或夜晚街灯下一个圆形物体(比如自行车轮子)的影子通常是一个椭圆(请读者想一下,它有没有可能是双曲线或抛物线[7])。另一个与之相关的司空见惯却很少有人深思的事实是,所有圆形的物体(比如圆桌,圆凳,圆盘、圆碗、圆碟、圆口杯子)从一般的视角看上去其实并不是个圆,而是一个椭圆。请读者务必用自己的眼睛细心观察和感受这两件事情,因为它们的背后隐藏着非常深刻的原理(它就是射影几何的基本原理)。

 

 图 1.6    夜晚街灯下自行车轮子的椭圆形影子

【旁注】实际上你眼睛看到的自行车轮子本身也是个椭圆——如上文所说,亦如上图中所见,只是这个椭圆是“虚幻的”——它只存在于你的视觉中(除非你拿相机把它拍下来,那么,在相片上它就是一个真实的椭圆了,如上图中所见);而自行车轮子在地面上的投影则是大自然之手绘出的一个实实在在的存在于地面上的椭圆。

思考题

Q1.如上图,并请设身处地想,假设你不能抬头看,你能根据自行车轮子的影子确定光源的位置吗?

  

 

Q2.请仔细观察自行车轮子在太阳光下的影子,和在街灯下的影子(如上图)相比,两者有什么区别? 

       

 

 

未 完 待 续(To be continued)

 注 解 和 知 识 拓 展

[1] 为简单起见,我们假定它是直圆锥,即顶点和底圆圆心的连线垂直于底圆所在平面的圆锥。

[2] 但从射影平面上看,双曲线的两个分支是连通的,因为它们在两个无穷远点(对应于双曲线的两条渐近线)连接了起来。我们也可以说在射影平面的拓扑中双曲线同胚于一个圆,它的两个分支对应于以两个无穷远点为端点的两段圆弧,如下图所示:

[3] 只要沿着一个方向压缩或拉伸整个平面就可以把圆变成椭圆,或者反过来把椭圆变成圆,这样的变换称为伸缩变换或压缩变换,它是仿射变换的特例。如果采用直角坐标系,沿 y 轴方向的伸缩变换可以表示为

其中的 K 是一个常数,可以称为伸缩系数。

上述变换的几何意义是把整个平面沿着 y 轴方向拉伸(当 |K| > 1 时)或压缩(当 |K| < 1 时)K 倍,即把平面上任意一点变到横坐标和原来相等、纵坐标为原来 K 倍的点。

请读者自己验证,沿 y 轴方向、伸缩系数 K = a/b 的伸缩变换把椭圆

变为半径等于a 的圆。

利用伸缩变换,可以把很多关于椭圆的问题转化为相对容易得多的圆的问题解决,反过来,也可以把很多圆的性质推广为椭圆的性质。具体实例参见_____

 

顺便说一下,在电脑附件的画图软件中就可以实现伸缩变换,只要点击“重新调整大小”,选择水平伸缩的百分比不等于垂直伸缩的百分比即可。

还有,通过调整电脑显示屏的分辨率,也可以实现伸缩变换。前几天帮侄儿装了一个几何画板,画出来的圆全部是压扁了的椭圆,改了一下显示屏的分辨率设置,问题就解决了。

[4] 单叶双曲面是双曲线绕虚轴旋转生成的曲面。若双曲线绕实轴旋转,则会生成双叶双曲面,它有两个分离的连通分支。

[5] 实际上,一个一般的二次曲面(椭球面和双曲面为其两个类型,而圆锥则为退化的二次曲面)和一个平面的交线总是一条圆锥曲线。

[6] 严格地说是椭圆盘,即由椭圆和其内部所构成的有界区域。

[7] 太阳底下一个圆形物体的影子永远是一个椭圆,因为太阳光是平行光束,物体在太阳下的影子是平行投影(相当于一个仿射变换)。平行投影保持圆锥曲线的类型不变,即它永远把椭圆(圆为其特例)变成椭圆,双曲线变成双曲线,抛物线变成抛物线。

而在街灯下一个圆形物体的影子从理论上讲也可能是双曲线或抛物线(虽然实际上很少能看到,请读者想一下在什么情况下能看到双曲线或抛物线的影子),因为它是一个中心透视投影,如果圆上有且只有一点投射为无穷远点,圆的投影就是抛物线,如下图所示:

图中的点 V 是透视中心(你可以把它想像成一盏街灯)。

如果圆上有两点被投射为无穷远点,圆的投影就是双曲线。(请读者自己发挥空间想象力,把上图中的圆再往上挪一点,你能想象出它在平面上的投影的形状吗?——不错,它是一条双曲线,Do you see it in your mind's eye?)

 

 




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