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线性代数精要

        —— 谢国芳(Roy Xie)                                           Email:  roixie@163.com   

Part 2.  矩阵理论精要

 

目次(Table of Contents)

1. 概论(An Overview of matrices)

2. 矩阵的特征值、特征向量、特征空间和特征多项式(Eigenvalues, eigenvectors, eigenspaces ...)

3. 方阵的对角化(Diagonalization of square matrices)   

   ● 对矩阵对角化问题的分析

   ● 矩阵能对角化的充分必要条件

   ● 矩阵对角化的方法

4. 矩阵的最小多项式、不变因子和基本因子(Minimal polynomial, invariant factors and elementary divisors)

5. 多项式矩阵 / λ 矩阵(Polynomial matrices or  λ-matrices)       

6. 矩阵的标准形(Canonical forms of matrices)   

7. 矩阵的分解(Decomposition of matrices)

8. 对称矩阵、二次型和双线性形式(Symmetric matrices, quadratic forms and bilinear forms)

9. 矩阵的瑞利商及其应用(Rayleigh quotient and its applications)

......


矩阵能对角化的充分必要条件

--- 实矩阵  |  复矩阵  | 一般域上的矩阵 ---

[注1]

     注:关于特征值的代数重数(algebraic multiplicity)和几何重数(geometric multiplicity),参见 附录1

容易证明,上述四个条件是彼此等价的(请读者自己证明这一点)。 

在实际应用中,条件(4)是判断一个实方阵能否对角化最快捷高效、也可以说最佳最妙的判据。

注意,条件(4)实际上由前半句和后半句两个条件构成,为了强调其重要性,我们把它们分开重写一遍:

(4.1)  特征方程  det (λI A) = 0 的根全部为实根。

(4.2)  每个特征值的几何重数等于代数重数。

当且仅当这两个条件同时满足时,实方阵 A 可以对角化。

这就是说,一个实方阵要能对角化必须同时通过两个“测试”(test),fail 其中一个,我们就可以判定它不能对角化。  

(一)如果条件(4.1)不满足,即如果特征方程 det (λIA) = 0 有虚根,则马上可以判定实方阵 A 不能对角化。

(二)如果条件(4.2)不满足,即如果有一个特征值的几何重数小于代数重数(几何重数总是小于或等于代数重数,参见____),则马上可以判定实方阵 A 不能对角化。

 

条件(4.1)也可以等价地表述为:

特征方程 det (λIA) = 0 恰好有n 个实根(一个重根按重数计算,即一个重数为m 的根算作m 个根),n 为实方阵A 的阶。

特征多项式 det (λIA) 恰好有n 个实根即实的零点(一个多重零点按重数计算,即一个重数为m 的零点算作m 个零点),n 为实方阵A 的阶。

特征多项式 det (λIA) 可以分解为若干个实线性因子的乘积。

一个更“酷”、更简短凝练、更专业的说法是

●  特征多项式 det (λIA) 在实数域中分裂(split )。

 

当特征方程没有重根时,条件(4.2)自动满足(请读者思考为什么[注4]),所以只要条件(4.1)成立,我们就能判定一个实方阵能对角化。

因此我们有下面这个非常有用的结论:  

它也可以等价地表述为:

 

[注2]

[注3]


 → 参见 复矩阵能对角化的充分必要条件

 

 

 

 

 

 


 



 
 
 
 
 

 注 解 和 知 识 拓 展

[注1] 矩阵A 的特征值是特征方程 det (λIA) = 0 的根,亦即特征多项式 det (λIA) 的根或者说零点。

 → 参见 上一节:矩阵的特征值、特征向量、特征空间和特征多项式

[注2] 即特征多项式可以分解为

 

[注3] 也可以说成“实数域是特征多项式的分裂域(splitting field)”。

 → 详见 伽罗瓦理论(伽罗瓦扩域和伽罗瓦群)

[注4] 提示:因为这时候所有特征值的代数重数和几何重数全都等于1。

(代数重数等于1不用解释,但几何重数为什么也一定等于1呢?请读者思考)