网站首页 (Homepage) 欢  迎  访  问  谢  国  芳  的  网  站  “语  数  之  光
Welcome to Guofang Xie's Website
返回 (Return)

 

《一个数学家的成熟》摘译

   ——作者  斯蒂文·克兰茨(Steven Krantz)

   英语原文(original text)


 

中文译者:  谢国芳

      Email:  roixie@163.com  

  

 

7. 数学上的成熟的例子

数学上的成熟表现为多种形式,但是其统一的主题是一种处理抽象(通常困难的)的概念的能力。……

当小学生们开始问问题的时候,他们也许就开始表现出数学上的成熟了。因为这时他们开始认识到数学并不是一个刻在石头上的一成不变的东西,其中有我们不知道和不明白的事情,需要考虑不同的可能性,我们的探索可以沿着不同的方向进行。

当一个稚嫩的学生问,“为什么会那样呢?”一一那意思是他们想看到那个事实的一个说明一一的时候,他们就开始像数学家一样思考了。实际上,他们是在索要一个证明, 而证明是一件相当复杂的事情,只有一小撮智力上的精英能够把握。

当一个四年级的小学生问,“为什么我们要这样子把两个分数相加而不是那样子相加呢?”当一个七年级学生问,“为什么我们可以对方程的两边做相同的事情呢?”当一个高中生思考,“当我们把三角形的尺寸加倍,三角函数会怎么样变化呢?”这时候他(她)就开始表现出数学上的成熟了。当一个大一学生说,“我不明白微积分基本定理为什么是对的,它似乎是太棒了。”我们知道该学生正在向着好东西前进。 当一个研究生对他(她)的导师说,“我不喜欢那个作者给出的对这个结果的证明,所以我创造了我自己的证明。”我们知道我们正在和一个未来的数学家交谈。

回忆伊西多·拉比(Isidor Rabi,1944年诺贝尔物理学奖得主)的童年经历是有益的,当他是一个孩子的时候,放学回家,他妈妈常常会问,“今天在学校里你提了一些好问题吗?”一个多么明察秋毫的母亲!这是检测你的孩子在学校里的学习情况的一个绝妙的方法。  

……

让我们用一个来自最高层次的数学上的成熟的例子结束本节的讨论吧。大约在1962年,菲尔兹奖得主约翰·米尔诺(John Milnor)在一个大礼堂作学术报告,听众有几千人,报告的内容是关于他的那个著名的七维球面上有多于一个微分结构的定理,这是一个非常令人兴奋的结果。

 

 

约翰·米尔诺(1962年菲尔茨奖、1989年沃尔夫奖、2011年阿贝尔奖得主)

 

假如米尔诺发现的是在一维球面即圆上有多于一个的微分结构,人们就不会被震憾了,他们会说这是一句无足轻重的话,任何人只要费心考虑这个问题都能说出这样的话。但是七维球面是相当怪异的,米尔诺的结果对一维、二维、三维、四维、五维和六维球面并不成立,七维球面是出现多于一个微分结构的现象的第一个例子。

就这样,米尔诺在向一大群背景混杂的老一辈数学家们解释着斯蒂费尔-惠特尼示性类(Stiefel-Whitney class)的非常复杂的应用。在报告的中间,为了阐明一个关键点,他说道,“理解这个想法的最好方法是看一下零维球面。”

这难道不令人叫绝吗?零维球面仅仅由两个点构成!关于它有什么可说的呢?嗨,如果你想强调说明左右对称性,借助于零维球面也许是个好办法。

能够考察现代数学最深奥的部分之一,从中抽出一个如此清晰深刻的想法,乃至于你可以用一个像零维球面这样简单的概念把它解释清楚——甚至你奶奶也能理解这样的解释!这绝对需要真正的数学上的成熟。

 

值得指出的是米尔诺之所以能解决这个问题,是因为他当时正在做某个计算,得到的结果不对头,看起来似乎有某个矛盾。米尔诺花了不少时间绞尽脑汁想这件事情,没有获得任何结果。在这种情况下,我们中的绝大多数人早就会放弃了,简单地说一句,“这问题不可解,我们可以在别的问题上更好地花费我们的时间。”但米尔诺可不是等闲之辈,他才华横溢,又有韧性和自信心,他知道他能把问题彻底搞清楚,他果然做到了。

这并不是一个孤立的事件。汉斯·路维(Hans Lewy)对一个二维复空间的解析延拓问题感到困惑,结果发现了局域不可解的路维偏微分算子。三十年的努力未能证明巴拿赫代数的环同态一定是自动连续的,让 Jean Esterle 和 Garth Dales 极度沮丧,最后他们俩成功地构造出了一个反例。萧荫堂(Yum-Tong Siu)对与小平消没定理(Kodaira Vanishing Theorem)相关的一些计算感到困惑不解,最终证明了一个关于多复变量的单值化定理的新的结果。

这些当然是高级的数学上成熟的最佳例子。面对一个令人困惑甚至自相矛盾的局面,坚持不懈,最后将它扭转变成一个让人豁然开朗、深受教益的结果,这是登峰造极的好数学,是我们每个人都孜孜以求的。

 

 

 

英语原文:

......

 

 

 

 

未完待续 (to be continued)