Guofang Xie's Formulas for the Roots of a General Quartic Equation

and Discriminating Methods thereof

一般四次方程的谢国芳求根公式和判别法 

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章节目录

1. 一般实系数四次方程的谢国芳求根公式

2. 一般实系数四次方程根的谢国芳判别法 

   ● 记忆诀窍和补充说明

   ● 系数为纯数字的四次方程例题

   ● 含参数的四次方程例题




 

 
   
   
   

记忆诀窍和补充说明

Δ  =  I 3 -27J 2  为四次方程的判别式(discriminant),更准确地说应该称为重根判别式或总判别式,因为当且仅当 Δ  =  I 3 -27J 2  = 0 时方程有重根(这对于复系数四次方程也同样成立,详见______)。

为了方便记忆,我们可以把 δ  =  12H 2a 2 I  称为“细判别式” 或“小判别式”, 称为“判别子”。

除了方程有重根的特殊情况(见上述情形(三)),根的情形完全由 Δ , δ , 这三个参数的取值决定。

注意当且仅当 Δ , δ , 全都为正时方程有四个互异的实根(见上述根的判别法则情形(二)之1)。

 

系数为纯数字的四次方程例题

 
   
   
   
   
   

 
 
 
   

含参数的四次方程例题

【注3】


注 解

[1] 在系数中引入数字因子 4, 6, 4 是为了使后面各参数的表达式尽可能地简洁,注意五个系数的数字因子 1, 4, 6, 4, 1 恰好是二项式系数( (1 + x)4  =  x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1 ),也就是杨辉三角形(在西方称为帕斯卡三角形)的第四行。

[2] 除了新增的一个参数δ,其余各参数的定义和一般实系数四次方程的谢国芳求根公式中完全相同。