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关于三次方程答网友问(1)

——在什么情况下三次方程的根必须借助三角函数求出

   谢国芳(Roy Xie)                                           Email:  roixie@163.com   

 

 

 
   

[注1]

[注2]

[注3]

[注4]

 
   

[注5]

[注6]

 

注意卡丹(Cardan)公式是不满足“方根取值的自由性原则”的,这也是它的弊端之一,这一弊端在求解实系数三次方程的时候可能还不容易被人察觉,但在求解复系数三次方程的时候就会凸显出来(参见你说的那个东方数学论坛帖子的“板凳”),以后再详谈这个问题。至于盛金公式我就不说了,它只不过是卡丹公式的一个简单变形。

 
 

      上式的一个推导见《一般三次方程的谢国芳求根公式Ⅰ》中的附录2

另一种完全不用三角函数的纯代数的推导见附录A:复平方根的纯代数求法。对于类比复立方根的情形这一纯代数方法是更有教益的。  

 

 

[注8]

 
 
   

 

 

 

 

 

  

 

未完待续(to be continued)

 

 注 解 和 知 识 拓 展

[注1] 换句话说,z n 次方根也就是以 w 为元的 n 次代数方程

                    wn = z                    (2.1)

n 个根。从复平面上看,这 n 个根均匀分布在以原点为圆心、半径等于的圆上,恰好构成一个正 n 边形,如下图所示:

由此,我们也可以几何直观地看出各个复方根的平等性和对称性。

顺便指出,解高次代数方程的一个最自然的最一般性的策略就是设法通过某种变换把一个一般的 n 次代数方程

化为最简单最特殊的形式——形如式(2.1)的形式,对于一般的三次方程和四次方程都可以成功地做到这一点(但对于五次及其以上的方程就会出现不可克服的困难),实际上,这正是推导出求根公式(3)的秘诀,因为我们可以找到一个变换或几个变换的复合(请读者思考具体是什么变换),把任意一个一般形式的三次方程

化为

的形式,这里的 就是由式(2)定义的三次方程的原幂。

→ 详见《代数方程解法新论——怎样在一个一般性策略的指导下解出 n 次代数方程》

[注2] z = 0 时,其任意次复方根都只有一个值:0 .

[注3] 用复变函数的专业术语讲,函数

是一个多叶解析函数,它有 n 或者说 n 个分支 ,以 0 为支点。

 

[注4] 注意复方根的主值并不总是表达式最简单的那个值。

[注5] D = b2 - 3ac = 0 时,三次方程 ax3 + bx2 + cx + d = 0 可以配成完全立方简单求解。

      → 参见 一般三次方程的退化情形(D = 0 的情形)

[注6] 脑袋瓜尖的读者马上会想到:

这样一来,求根公式(3)不是会给出2×3 = 6个值吗?

答案是不会的,该公式内部还隐藏了一个对称性阻止了这一“灾难”的发生!

请读者自己先思考一下,这是一个什么样的对称性?

             

证明


 

[注8] 由 De Moivres 公式我们得到

,   ()

代入求根公式(3)就导出了一般复系数三次方程的谢国芳求根公式Ⅰ,这是求解一般的复系数三次方程最快捷简便的求根公式(所涉及的计算全部为实数计算,可在普通的科学计算器上完成)。