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对网友来信咨询的一个立体几何问题的解答

谢国芳(Roy Xie)

      Email:  roixie@163.com  

一. 网友的问题

 

二. 站长的解答

你提的问题很好很专业,我想了一下,这三个问题的答案都是肯定的,为了使行文准确严谨,也为了让初次碰到该问题的读者明白,我先来给相关术语下个定义。

如下图所示,设 l m 为两条异面的(即不在同一平面上的)直线,若能在直线 l 上找到一点 G,在直线 m 上找到一点 H,使得直线 GH 同时和直线 l m 垂直,那么就称直线 GH 为直线 l m 公垂线,称线段 GH 为直线 l m 公垂线段

 

现在,我对你的问题的答复就可以这样表述:

定理1 任意两条异面直线都有唯一的公垂线或者说公垂线段,并且该公垂线段的长度是这两条异面直线之间的严格的最短距离。

【旁注】请读者自己玩味“严格的最短距离”一词的意思,其准确解释见下文的(二)

上述结论既可以用纯几何方法也可以用代数方法证明,我先讲几何方法,这比较直观和简单。

§1. 几何方法

我首先讲怎么样作出公垂线(这自然也就证明了公垂线的存在性)。

设给定的两条异面直线为 l, m, 为了方便空间想象,你可以把 l 想象为天花板上的一条直线,m 想象为地板上的一条直线[1](这样做并不失一般性,为什么?请读者自己先想一下,然后再参见下面的引理1)。

如下图所示,设直线 l 在地板上的垂直投影为直线 n [2],易见 n m 是不平行的[3],故它们必交于一点 H,过 H 作直线 l 的垂线交之于点 G,GH 即为直线 l m 的公垂线。

图2:公垂线的作法

思考题:请读者证明这样作出的直线 GH 的确是直线 l m 的公垂线。

 

 

此外,容易证明

(一)GH 是直线 l m 唯一的公垂线。

 

 

 

 

(二)线段 GH 的长度为直线 l m 之间的严格的最短距离。也就是说,设 P 为直线 l 上任意一点,Q 为直线 m 上任意一点,那么恒有 PQ ≥ GH,等号当且仅当点 P 和点 G 重合、点 Q 和点 H 重合时成立。

 

 

 

 

 

 

 

 

引理1 给定任意两条异面直线 l,m,存在唯一的包含直线 m 同时和直线 l 平行的平面。

 

 

 

 

 

 
   
   
   
   

 
   
   
 

   

未完待续(to be continued)

 

 

 注 解 和 知 识 拓 展

[注1] 当然,我们假定天花板和地板都是水平的平面。

[注2] 什么是直线 l 在地板上的垂直投影呢?

形象地说,就是直线 l 在来自上方的垂直光线的照射下在地板平面上投下的影子。

假想天花板是透明玻璃做的,那么直线 l 在地板上的垂直投影就是它在位于天顶正中的太阳(你可能从未见到过那么高的太阳,因为从地理学上讲,这样的太阳只有在赤道附近南北回归线以内的热带地区才能看到)的照射下的影子。

实际上,不单对于直线,对于任何几何形体,我们都可以定义它在某个平面上的垂直投影。直观地说,它就是该几何形体在垂直于该平面的光线的照射下在该平面上的影子。

 

思考题1:请读者尝试把上面这种形象的直观的说法转换成抽象的数学语言,从而给出一个几何形体在某个平面上的垂直投影的准确的数学上的定义。

 

 

 

思考题2:请想象一个球体和一个圆在某个平面上的垂直投影的形状,它们各是什么图形?

 

 

思考题3:一条直线在某个平面上的垂直投影总是一条直线吗?

 

 

思考题4:怎样作出一条直线在某个平面上的垂直投影(假定该直线不与该平面垂直)?

 

 

 

思考题5:什么时候一条直线的垂直投影和它本身平行?

 

 

思考题6:试想象一个正四面体和一个正方体在某个平面上的垂直投影,你能想出它们在一般情况下是什么形子的吗?

 

思考题7:你能想到对上面定义的垂直投影的概念作进一步的推广吗?具体说来,可以作哪些方面的推广呢?

        

 

 

 

 

 

[注3] 若不然,假设直线 n m 平行,因为 n 和直线 l 平行(因为l 是和地板平面平行的直线,故它在地板平面上的垂直投影 n l 平行。参见上注),由此可推知直线 l m 平行,这和它们是异面直线矛盾。



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