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二维、三维和四维的几何

Michael Atiyah 

英语原文(original text)


 

中文译者: 谢国芳

        Email:  roixie@163.com

2. 二维和三维

微分几何中一个最最重要的概念是曲率,它最早是由高斯引入继而黎曼加以发展的。它将产生多么深远的影响是令人惊叹的,我们可以通过维数的增加来追溯其演变发展。

我们可以把几何的历史大致分为三个时期。

十九世纪:研究二维和标量曲率 R

二十世纪:研究三维和里奇(Ricci)曲率 R ij

二十一世纪:研究四维和黎曼曲率 R ijkl

这当然是一种极大的简化,世纪之间的界限是流动的。另外黎曼曲率在更高维度的微分几何中也依然是一个基本对象。然而西蒙·唐纳森(Simon Donaldson,1957~)的工作清楚地表明了四维特有的性质,这构成了现在的挑战。(紧可定向)曲面的理论是沟通拓扑学、微分几何和代数几何的桥梁,其主要思想是阿贝尔的,最终结果是依据亏格 g 把(二维)曲面分为三类。

g = 0

球面

正曲率

g = 1

环面

零曲率

g ≥ 2

一般情形

负曲率

 

庞加莱通过“数不同维数洞穴数目”的同调的概念和引入基本群奠定了拓扑学的基础。庞加莱猜想的发端是当庞意识到存在一种有着和三维球面相同的同调的三维流形,这就是著名的“伪”三维球面,它源自正二十面体,其对称性出现在该流形的基本群中。这使得庞加莱这样表述他的著名的猜想:

一个紧单连通的三维流形拓扑等价于(三维)球面。

在二十世纪拓扑学成为一个中心课题。在三维的情形,威廉·瑟斯顿(William Thurston, 1946~2012)勾勒出一个包括所有三维流形的全盘性的纲领。和二维的情况一样,其分类同样涉及曲率。(三维)球面为正曲率之典型,双曲三维流形则为负曲率之典型,总共有八种不同的典型类型作为构建一般三维流形的基本砖块。庞加莱对三维球面的证明可以很自然地推广到整个瑟斯顿纲领上,这给一个世纪的关于三维几何的工作画上了圆满的句号。

这无疑是一个时代的终结。

 

……

未完待续(to be continued)

 

 

 

英语原文:

 

 

 

 

 

 

 

 

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