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伽罗瓦死于一百四十年前

关于伽罗瓦之死和生平的新考证)

  —— 作者 [法] Aurélien Alvarez,  Michèle Audin          

   法语原文(original text)

   中文译者    谢国芳(Roy Xie)

      Email:  roixie@163.com      



章节目录

1. 一个春光明媚的早上

2. 伽罗瓦生平简介

3. 一个离题的闲话:质数之谜

4. 现在来谈谈和谐

5. 狄利克雷算术级数定理

6. 质数的分布

一百四十年前,在保卫巴黎公社的战斗中,数学家伽罗瓦牺牲了,那一年他六十岁。

1.  一个春光明媚的早上

1871年4月3日的早上,在离开他的住宅前,伽罗瓦写下了他对黎曼 ζ 函数的零点之实部等于 1/2 的证明的最后一个部分,假如你能辨认第一页顶部他的纤细的笔迹的话。他把四张纸折叠了起来,塞进了他的国民卫队制服的口袋里,很可能是为了白天能抽出时间的时候重读他的论证。他离开圣沙班街他的住所[1]前往马瑶门,巴黎公社已经需要在那里防御来自凡尔赛的进攻了。就在那儿,一颗子弹穿透了他的心脏。

   

        

2.  伽罗瓦生平简介

下面我们简要介绍一下今天我们知道的伽罗瓦的生平。关于他的少年时代,请参阅这篇文章

在1832年初一场不幸的决斗中他受了重伤,有几个月时间生死悬于一线,但他活了下来,并成功地发表了一篇简短美妙的论文[3],一些作者认为这是他在决斗前的那个晚上一气呵成写成的,我们将在以后的另一篇文章中回过头来谈这段时间和这篇论文。

他的政治名声和难以相处的性格使得他未能被聘为巴黎综合理工学院的辅导教师。他曾在几所不同的中学任教或担任班主任,但无一例外总是被炒鱿鱼。1837年,他终于在巴黎天文台找到了一个助理的职位。

之后他就干起了天文这一行,看起来他喜天文观察和星星[4],他和阿拉戈相处得很融洽,和勒维耶的关系就差一些,对德劳奈则抱容忍的态度。[5]

正如我们从最近发现的大部分还保密的档案中将会看到的,伽罗瓦预见到了几位杰出数学家的工作,特别是对质数的分布作出了辉煌的贡献。


3.  一个离题的闲话:质数之谜

质数是那些像2,3,5,7那样只能被1和它们本身整除的数(但6就不是了,因为 6 = 2×3),人们从远古就知道,质数有无穷多个,可是怎样把握所有的质数呢?最容易想到的当然是尝试列出一张尽可能长的质数表。

“欧拉计算起来毫不费力,就像其他人呼吸、或者鹰随风翱翔一样自然。”

阿拉戈这样谈论欧拉,而欧拉最喜爱的游戏之一就是计算质数,不断算出更多,他制作了包含所有100,000以内的质数的表,这张没有尽头的表有什么奥秘吗?是否存在像一个能产生所有质数的公式那样的东西呢?1772年,欧拉以下面这个公式自娱:

  y = x2 + x + 41.

          

对一个数学家来说,很难想见一个比这更简单的公式了,说到底它不过是一个二次多项式,如果我们对 x = 0, 1, 2, 3, ...... 计算这个多项式的值,我们将得到什么结果呢?正是下面这个数列:

太令人难以置信了!当 x 从0变到39时,我们得到的40个数全都是质数。

哎呀,糟糕!当 x = 40 时,x2 + x + 41 = 402  + 40 + 41 = 1681 = 41 × 41 不是质数!

 

然而,即使对于伟大的欧拉,寻找一个能产生所有质数的公式也是一个不可克服的挑战,1751年,他写道,

一些奥秘永远不能为人类理性洞穿,为了对这一点感到信服,只需对质数表瞥上一眼,你会看到那里既没有任何秩序,也没有任何规律。

 

附图1(译者所加)--- 100以内的质数

 

1792年,年仅十五岁的高斯就已经对质数着迷了,小学生作业本的背后通常总会画上加法表和乘法表,高斯喜欢的几个本子背后画的却是对数表。第一张对数表出现在1614年,是一个叫钠皮尔的苏格兰伯爵制作的,这是一个像神秘的魔术师一样的人物,自称他所发明的天启录一般的代数将会宣布最后的审判。不管怎样,对数所引起的广泛兴趣从来都没有被夸大过,包括当时的商人和航海家都对它感兴趣,因为对数能把乘法变成加法,有了对数表,做乘法就不一定需要知道乘法规则了!

和他之前的数学家一样,高斯没能发现一个产生所有质数的公式,但在好数学家那里,问题改变了!

高斯对下面这个问题感兴趣,它具有不同的性质,从表面上看要简单、“谦逊”得多:

比100小的质数有多少个?比1000小的质数有多少个?比10000小的质数又有多少个?

更一般地,比任何数 x 小的质数有多少个呢?

高斯拿出他之前做好的质数表,进行了统计,比如说,当 x = 10000 时,他找到了1229个质数,由此推算出平均每8.1个数中有一个是质数,而如果 x = 100000 ,大约每隔10.4个数他找到一个质数,他注意到了一件非常惊人的事情:每次把 x 扩大10倍,看起来质数和所有数的比例就要加上2.3,对于高斯来说,不可能看不出在这一切的背后隐藏着一个对数。

自高斯以来,用 π(x) 表示小于 x 的质数的数目就成为了惯例,即使只有一些数值考虑并没有证明,猜想 π(x) 应该是 x/logx 的量级,高斯揭开了表面上如此无序的无限质数数列的奥秘的遮盖布之一角。

尽管他的发现意义非凡,没有一个对这一确定事实的证明,高斯是不能满意的。关于他的发现他所说的一切都隐含在下面这句微妙的话里了:

你不知道一张对数表蕴藏着怎样的诗意。


4.  现在来谈谈和谐

为了把我们发现的已经长眠地下的伽罗瓦的数学解释清楚,我们需要绕个圈子从音乐谈起。

音乐是当人类精神无意识地进行计算时所体验到的快乐。

这句莱布尼兹的名言概括了数学和音乐之间的“交流”,作为一个例子,让我们引用作曲家拉默的话吧,他在1722年写道:

倘不考虑因为如此长久地接触音乐我所能获得的所有经验,我必须承认我的想法只有在数学的帮助下才得以澄清。

欧拉则坚信质数能解释某些音符的组合之美,他乐见将音乐理论变成数学的一部分,从正确的原理出发,以井然有序的方式推导出所有能令音调的结合和混杂愉悦的乐理。

当一个小提琴手使一根琴弦发生振动的时候,它发出一个音色非常丰富的声音,它由一个基音和所有它的泛音构成。被称为调和级数的无限和

于是就不可避免地进入历史了。尽管增长极慢,自十四世纪以来人们就熟知这个级数的和最终会不可遏制地趋向无穷大。

{ 关于该级数和它最终会趋向无穷的证明,点击这里。——译者注 }

 

经过令人叹为观止的计算,欧拉激动地宣称:

现在,以一种最出乎意料的方式,我找到了一个优美的公式,它和圆周率有关。

注解:欧拉刚刚成功地证明

{ 关于该等式的故事,参见《和  π  有关的神奇等式(1)——欧拉的伟大发现》一文。——译者注}

 

在这里,为什么会出现这个著名的数——圆周率 π ,也就是一个平面上你画的任意一个圆的周长和直径的比呢?

欧拉马上猜测到在他刚刚作出的这个发现中隐藏着一个极深的奥秘,他引入记号 Π 来表示下面这个级数:

其中 B2k  是著名的伯努利数。

{ 关于伯努利数的详细知识,点击这里。——译者注 }


任何一个整数都能分解为几个质数的乘积,由此出发,欧拉推导出了一种将调和级数和它的姐妹级数如  Π(2k写成无穷乘积的方法。更准确地说,他证明了下面这个漂亮的公式:

其中 x 是一个大于1的数。

 

5.  狄利克雷算术级数定理

我们已经看到质数有无穷多个,这是确定无疑的,但它们是怎样分布的呢?

为了使这个问题精确化,我们可以指出简单的几点:比如说,只有一个质数是偶数(它就是2),但奇质数就有无穷多个(除了 2 之外所有其他的质数)。再比如,能写成 4k + 1 的形式的质数有无穷多个(像 5 = 4 × 1 + 113 = 4 × 3 + 1, 29 = 4 × 7 + 1),这一点的证明要比证明所有质数有无穷多个稍微难一些,但还是相当容易的。

伽罗瓦得到的第一个未发表的结果是今天被称为狄利克雷算术级数定理的定理。该定理断言,在任何一个算术级数中你都能找到无穷多个质数。具体地说:从一个数 a 出发,你开始加上另一个数 b ,加一次,再加一次,又加一次,如此继续,这样一来你就得到一个数列 a,   a + b,  a + 2b,  a + 3b, ......, a + kb, ......(它被称为算术级数)。如果 a b 没有公因子,那么在这些数当中就有无穷多个质数。 4k + 1 ,即 a = 1, b = 4 的情形可以用“初等的”方法证明,这就是说不需要用(数学)分析。但是一般情形的证明有赖于关于群和其特征的知识。伽罗瓦是最早认识到群的概念在数学中的重要性的少数几个人之一,所以他无疑是这些问题最好的专家之一。

伽罗瓦的证明的核心思想基于对某个级数的精深的研究,今天人们把它称为狄利克雷级数。

这可以说是伽罗瓦对柯西的一个报复,柯西是这一块分析领域 {指复变函数论——译者注} 的专家和奠基者,伽罗瓦认为柯西处理自己的论文的方式是卑鄙的,对此一直难消怒火,这次他终于找到了一个比“男爵”(伽罗瓦对柯西的称呼)做得更漂亮的绝佳机会。

{ 伽罗瓦把他关于代数方程的研究成果写成论文寄给了法国科学院,柯西为审稿人,他本应该就伽罗瓦的论文作一篇报告,可是他把伽罗瓦的手稿弄丢了。——译者注 }

 

当伽罗瓦于1837年证明这个定理 {指狄利克雷算术级数定理——译者注} 的时候,他告诉了他的数学老师理查,他是伽罗瓦与之保持联系的几个数学家之一,理查认识沙勒,沙勒又告诉了刘维尔,后者刚刚创办他的数学杂志,对学界的所有动态了如指掌,他派人转告沙勒说该定理刚刚由一个叫狄利克雷的年轻德国数学家发表。

理查担负起了向伽罗瓦报告坏消息的使命,这也许能解释何以伽罗瓦的手稿直到今天都一直存放在理查家的私人档案柜里。伽罗瓦似乎大为恼火,他拒绝阅读他的竞争对手发表的论文,不管怎样,反正他也读不懂德文,在某种意义上,这对他来说是幸运的,假如他读到当时最伟大的数学家之一雅可比关于该算术级数定理写下的颂词,他一定会怒不可遏:

应用傅里叶级数于数论,狄利克雷最近发现了臻于人类洞察力顶点的结果。  

 


 

 

To be continued(à suivre

 

 注 解

[1] 有趣的是,在二十世纪初在伽罗瓦住过的那幢楼的旧址上建造的一幅楼房里住过另一个大数学家勒贝斯格(Henri Lebesgue)。

[3] 在热尔岗数学年刊上(les Annales de Gergonne)。

{ 该刊物正式的名称是《纯粹与应用数学年刊》(les Annales de mathématiques pures et appliquées),1810年由法国数学家热尔岗(Gergonne)竭一人之力创办,是世界上最早的专门数学期刊,上面发表的文章以热尔岗本人的最多,达200多篇,此外当时一些著名数学家(主要是几何学家)如法国的彭赛列(Poncelet),沙勒(Chasles)、布列安桑(Brianchon),拉梅(Lamé)和瑞士的斯坦纳(Steiner)、德国的普吕克(Plücker)的文章也得以在该刊发表。——译者注 }

[4] 他想必也喜欢在巴黎城里散步。圣沙班街位于第十一区,对于晚上要观察天象的人来说,离天文台是比较远的。

[5] 天文学家弗朗索瓦·阿拉戈(Francois Arago)、奥本·勒维耶(Urbain Le Verrier,海王星的发现者)、查尔斯·德劳奈(Charles Delaunay)是在伽罗瓦工作时的历任天文台台长,勒维耶和天文台所有工作人员相处得都很不好,在十五位天文学家(其中包括伽罗瓦)遭解雇后,他也被免去了台长一职。