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   英语原文(original text)

分形为什么那么酷?

 

—— 作者 Cynthia Lanius      谢国芳(Roy Xie)

Email: roixie@163.com

1.  分形是新玩意

大部分你在学校里学的数学都是陈旧的知识。比方说,你学习的关于圆、正方形和三角形的几何学是在公元前300年左右一个叫做欧几里德的人整理总结而成的。然而,大部分的分形几何则要现代的多。实际上,它的诞生差不多只有二十五年的历史。

2.  分形看起来常常像大自然中的物体

大自然中的许多物体的形状并不是由正方形或者三角形、而是由更复杂的几何外形构成的。很多自然物体——像蕨类植物、海岸线等等的外形都像分形。那么,到底什么是分形呢?按照它的创始人——蒙德尔布罗特(B.Mandelbrot)的说法,分形是一种粗糙的或者说碎裂的几何形状,它可以被细分为各个部分,每一个部分(至少近似地)是整体的一个缩小了的复制品。

               

把上面的图片想象成非洲的海岸线地图,你用一英里长的尺子量它,得到某个数值,第二天你改用一英尺长的尺子再量会怎么样呢?哪一种测量你会得到更大的数值?由于海岸线是崎岖不平的,使用一英尺长的尺子你可以更好地进入凹角和裂缝里面,故而你会得到一个更大的数值。现在试想,如果你用一英寸长的尺子量又会怎么样呢?那你就真的可以量到最细小最细小的缝隙里面了,所以度量的值会更大,只要海岸线在一英寸的尺度上还是凹凸不平的。要是海岸线的每一点都凹凸不平会怎么样呢?你可以用越来越短的尺子量它,测量所得到的长度会越来越长。你甚至可以用无限小的尺子量,那样海岸线将会变得无限长。这就是分形。


3.  分数维

一个几何点是没有维度的:没有长度,没有宽度,没有高度。

用上面的那个圆点来表示真正的几何点明显是太大了。但我们就将就着吧,只要我们一致认定一个几何点应该是什么样的就行了。

一条直线有一个维度:长度。它没有宽度和高度,但有无限长的长度。

上图中的那条直线的模型实在也不是很好,但在我们学会如何画出宽度为零而长度无限长的直线之前,也只能凑合着用它了。

一个平面有两个维数:长度和宽度,没有深度。

它是一个绝对光滑的桌面,在纵向和横向同时延展到无穷远处。

空间,一个巨大的空盒子,有三个维数:长度,宽度和深度,在三个方向同时伸向无穷远。

很显然,对于三维并没有一个好的表示法。除了它的尺寸之外,上面的图只不过是个六边形, 画得让你产生它是个盒子的错觉。

分形则可以有分数的维度。一个分形的维度可能等于1.6 或者2.4,这怎么可能呢?下面让我们一起来探讨吧。

正如前面所画的图并不是几何点、直线、平面和空间很好的表示一样,上面这幅表示希尔品斯基三角形(Sierpinski triangle)的图也有它的局限。随着我们讨论的深入,请记住分形其实是由无限个步骤生成的,所以在上面那个图形内部应该有无限多个越来越小的三角形和无限多个小孔(即黑色的三角形)。

让我们对维数究竟何所指做进一步的考察。取一个直线段,把它的尺寸放大两倍( 想象通过一个放大倍率等于两倍的放大镜看它),那你就会得到两个原线段的复制品。

让我们再取一个正方形,把它的尺寸放大两倍(透过同样的放大镜观看),你会得到和原来一般大小的几个正方形呢? 不多不少四个。

再取一个立方体,把它的尺寸放大两倍,你得到了多少个和原来一样大的小立方体呢?八个。

 

让我们把这些数据做成一张表格:

 

图形

维度

复制品的数目
线段

1

2 = 21

正方形

2

4 = 22

立方体

3

8 = 23

 

你看到了其中的规律吗?看起来维度像是指数——它的确是!当我们把尺寸加倍然后把复制品的个数写成2的方幂时,指数就等于维度。

现在我们可以确定希尔品斯基三角形的维度了。利用类比,我们只需要看一下当我们把它的尺寸放大两倍时,我们会得到多少个原来三角形的复制品。记住黑色的三角形是孔洞,所以你不把它们计算在内。

正如你亲眼见到的那样,你得到了三个复制品,比直线段(两个复制品)要多,但比正方形(四个复制品)要少,所以希尔品斯基三角形的维度就一定介于 1 和 2 之间,因此它是一个分数。但它的维度准确地说等于多少呢?如果你是聪明的,亲爱的读者,你一定早已看穿了我们的把戏,猜到了奇妙的答案吧:

希尔品斯基三角形的维度正是满足 2d = 3 的数。

那些碰巧记得对数的朋友会得意地写出:d = log2 3.