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同学在微信群里发来的英文数学题(2)

 作者: 谢国芳(Roy Xie)


不久前,现居美国纽约的美女同学 Lynn 又在微信同学群里又发给我两道她女儿的数学题,要我帮忙解答:

……

英文原题

Problem 1

 

 

 

 

 

Problem 2

 

 

这两道题有相当的难度(很多人怕是连题目也看不懂。正如上面一位同学所说,它们首先是英语题;即便英语好的,也很可能看不懂其中的数学部分),害得我一晚上没睡好觉……

 

 

中文翻译

第一题.  亚历山大里亚城的帕普斯(Pappus,也译作巴普思,巴卜斯)为某个有限几何写下了如下的公理:

1. 至少存在一条直线。

2. 每条直线都恰好有三个点。

3. 并不是所有的点都在同一条直线上。

4. 若某个点P不在一条给定的直线l上,则存在唯一的一条通过P且和l平行的直线。

5. 若某个点P不在一条给定的直线l上,则在直线l上恰好存在一个和P之间没有直线连接的点P’。

6. 若P和Q是相异的点,则至多只有一条直线包含它们。

证明该帕普斯几何中的每个点都正好位于三条直线上。

(注意:帕普斯几何既不是仿射的也不是射影的。)  

附加题:可以证明该帕普斯几何有九个点和九条直线,利用这一事实画出它的草图。 

 

 

第二题.   回忆某射影空间的模型,该空间中的一个“点”是一对在某个球面上的对径点,而一条“直线”是该球面的大圆。现在考虑其“对偶”空间,其中的“点”是球面上的大圆,而“直线”是对径点对。

(1)证明该对偶空间满足所有射影空间的公理。

提示:(为此)你将不得不改变某些动词和命题;例如,较之说“每条直线都至少包含两个点”,对于这些定义来说,说“每条直线至少和两个点相交”之类的会是更有意义的。

(2)证明如果去掉北极、南极和所有的经线(即所有通过两极的大圆),得到的空间满足所有仿射空间的公理。  

 

 

提示(Hints)

 

 

 

 

 

 

…… 未完待续 ……

 


 

 注 解 和 知 识 拓 展

 



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